线性变换的核与值域的和是直和的充要条件除了对应矩阵是幂等矩阵外,还有其他的情况吗？比如实对称矩阵？

线性变换的核与值域的和是直和的充要条件除了对应矩阵是幂等矩阵外,还有其他的情况吗？比如实对称矩阵？

两个子空间的和是直和等价于二者的交只有零向量.
核像是直和等价于: 若Y满足AY = 0, 同时存在X使Y = AX, 则有Y = 0. 等价于: 若A²X = 0, 则AX = 0.
由于AX = 0的解总是A²X = 0的解, 上述条件进一步等价于二者同解, 等价于r(A) = r(A²).
学了Jordan标准型就会知道, 这一条件等价于0特征值的Jordan块都是1阶的.
或者说0特征值的几何重数等于代数重数.

作为特例, 可对角化的矩阵的所有特征值的几何重数都等于代数重数, 因此核和像是直和.
直接证明也不难, 因为对角矩阵显然满足r(A) = r(A²), 而相似变换不改变秩.
作为特例中的特例, 实对称阵是可对角化的, 结论同样成立.

补一个证明.
命题: A为n阶方阵, 则其0特征值的几何重数等于代数重数的充要条件为r(A) = r(A²).
证明: ∵A²的特征值对应为A的特征值的平方, ∴A²和A的0特征值的代数重数相等.
∵AX = 0的解总是A²X = 0的解,
∴0对A的几何重数 ≤ 0对A²的几何重数 ≤ 0对A²的代数重数 = 0对A的代数重数.
则若0对A的几何重数 = 0对A的代数重数, 有0对A的几何重数 = 0对A²的几何重数, 可得r(A) = r(A²).
而若r(A) = r(A²), 全空间等于A的核和像的直和, 且二者均为A的不变子空间.
A的特征多项式等于在二者限制的特征多项式的乘积.
但∵A在像空间上的限制可逆, 无0特征值. ∴0对A的的代数重数 ≤ 核的维数 = 0对A的几何重数.
又0对A的几何重数 ≤ 0对A的代数重数. 故二者相等.