七年级奥数

七年级奥数

1.已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解，那么a=_____,b=_____.

答:2a(x-1)=(5-a)x+3b
2ax-2a=5x-ax+3b
3ax-5x=2a+3b
x(3a-5)=2a+3b
关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数多个解
所以无论X取何值，总成立
所以此方程与X无关
所以 3a-5=0 , 2a+3b=0
a=5/3 , b= -10/9

2.由自然数1～9组成的一切可能的没有重复数字的四位数，这些四位数之和是多少？

答:首先看看一共有多少个四位数。
千位有9种可能，百位有8种，十位有7种，个位有6种。
一共有3024个四位数。

先看个位。由于每个数字的地位是平等的，所以
有九分之一，就是有336个数的个位是1，有336个数的个位是2，有336个数的个位是3，……有336个数的个位是9。
这些所有的个位相加就是336×(1+2+...+9)×1。

再看十位。由于每个数字的地位是平等的，所以
有九分之一，就是有336个数的十位是1，有336个数的十位是2，有336个数的十位是3，……有336个数的十位是9。
这些所有的个位相加就是336×(1+2+...+9)×10。

再看百位。由上面分析可知，所有的百位相加就是336×(1+2+...+9)×100。
再看千位。由上面分析可知，所有的千位相加就是336×(1+2+...+9)×1000。

所以所有的四位数之和，就是：
336×(1+2+...+9)×1+336×(1+2+...+9)×10+336×(1+2+...+9)×100+336×(1+2+...+9)×1000
＝336×(1+2+...+9)×(1+10+100+1000)
＝336×45×1111
＝16798320

3.大厅中聚会了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识。
我们考虑最坏的情况：
人A认识的67人中包括人B，B认识的67人中（包括A在内共67人）与A认识的67人至少有67+67—100=34人的重叠，就是说有至少34个人既与A认识，又与B认识。（可以画个图来认识，一个圈代表A认识的67人，另一个圈代表B认识的67人，A，B用两个点表示，这两点分别在两个圈内，这两个圈一定有重叠部分，并且至少是34个，因为如果少于34的话，两个圈的总人数将大于100。）在这34个人中选种人C，C认识的67人中与这34人至少有67+34-100=1人的重叠，当然，这个人就是我们要找的人：D。用图来表示就是三个圈有公共部分，至少里面有一个人：D，D在三个圈内，所以他认识A，B，C。
这种方法书上有吗，是我自己想的哟。

4.在线段AB上关于它的中点对称地放置2n个点。任意将这2n个点中的n个染成红色，另n个染成蓝色。证明：所有红点到A的距离之和等于所有蓝点到B的距离之和。
这么考虑：
设N为线段中点，那么，如果在关于N点对称的位置上是不同的点，一红一蓝，那么，它们分别到A，B的距离是相等的，我们把它们抵消了吧。我们看剩下的，在与N对称的位置上是颜色相同的点了，我们随便选一组，假如它们都是蓝的吧，要是我们把这两个蓝点都向中点N移动，移动相同的距离时，它们到B点的距离和是不变的，那好，我们就把它们移到N点上（它们是对称的嘛），距离和是不变的：就是AB。当然，与之对应的有两红点，也作这种移动，距离和是AB，全部都这样移动呢？那么，因为红蓝点的对数是相等的（剩下的点应该成对出现，因为一对点才能关于N点对称的，单个点不行的。前面抵消的是相同数目的点，所以剩的对数相同），所以它们到A，B点的距离和也是相等的，有多少对，就有多少个AB这么长。
（呼呼~~，好不容易想出个解法来）

5.证明：只用2*2和3*3的两种瓷砖不能恰好铺盖23*23的正方形地面。

23×23的地分成23×23=529个小单位，就是529个小方格，一块2×2的砖占4格，一块3×3的砖占9格，我们设有2×2的砖X块，有3×3的砖Y块，列个不定方程：4X+9Y=529，我解了个通解：X=130+9W，Y=1-4W（W是自然数），又因为X，Y是大于或等于零的，所以X=130+9W≥0，Y=1-4W≥0，解得0≤W≤1/4，所以，W只能取0，即X=130，Y=1。但我们不得不考虑一个问题：23个小格要填满只有四种填法：2与21组合，6与15组合，14与9组合，20和3的组合，现在由于有Y=1，所以采用20和3的组合，但23×23的正方形有四条边，要满足四条边都是这种组合，显然一个3×3的砖是不够的，至少要两个，分别放在两对角上。（但并没有Y=2这个解，所以是不能达到要求的。）
为什么不建议这种方法的原因很明显，太复杂了，而且有失一般性，五楼的很简洁，但毕竟很难想到，不过掌握了是很有好处的。

我觉得我的五题够你看的了，推荐给你一个奥数网站
http://www.aoshu.cn/Article_L/Class110List.htm 给分哦

加工一个零件,甲需3分钟,已需5分钟,丙需4分钟现在有1825个零件的制造任务需要甲乙丙三人加工，要在同一时间完成，那么个需加工多少个？

参考资料：设甲加工X个，乙加工Y个，丙加工Z个，则X+Y+Z=1825,3X=5Y=4Z.求得X=777,Y=466,Z=582