0.999…的其它数系

0.999…的其它数系

虽然实数形成了一个非常有用的数系，把“0.999...”解释为一个实数的决定毕竟还是一个约定，蒂莫西·高尔斯在《Mathematics: A Very Short Introduction》（《数学：一个非常简短的介绍》）中提到，0.999...=1的等式也是一个约定：
然而，这个约定决不是随意取的，因为如果不采用这种记数系统，我们就被迫得要么发明一些新奇的东西，要么抛弃大家熟悉的算术规则。（However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.）
我们可以用不同的规则或新的事物来定义其它记数系统；在某些数系中，以上的证明便需要重新解释。我们就有可能发现，在某一个给定的数系中，0.999...和1并不一定就是相等的。然而，许多数系都是实数系的延伸，而不是独立的替代物，所以0.999...=1仍然成立。就算是在这类数系中，我们依然值得去检查其它的数系，不仅仅为了知道0.999...是怎样表现的（如果“0.999...”既有意义又不含糊），也为了知道相关现象的表现。如果这种现象与实数系中的现象不一致的话，那么至少一个建立在这个系统中的假设便一定不成立了。 0.999...=1的证明依赖于标准实数的阿基米德原理：不存在非零的无穷小。也存在不符合阿基米德原理的代数结构，包括标准实数的各种各样的替代品。0.999...的意义与我们使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位i一样，但是 。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。我们可以给予对偶数一个字典序，这样ε的倍数就不符合阿基米德原理。但是，要注意到，作为实数的延伸，在对偶数中仍然有0.999...=1。尽管ε在对偶数中存在，ε/2也存在，所以ε就不是“最小的正对偶数”。确实是这样，在实数中，并不存在这类的数。
另外一种构造标准实数的替代品的方法，是使用部目理论和替代的逻辑，而不是集合论和经典的逻辑（一种特殊情况）。例如，在光滑无穷小分析中，就存在没有倒数的无穷小。
非标准分析因包含了一个有完整无穷小序列的记数系统而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。A.H.Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位于(0,1)之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0.ddd...；...ddd...，由扩展的自然数作索引。在这种形式中，0.333...有两种自然的展开式，都不与1/3相差无穷小：
0.333...；...000...不存在，而
0.333...；...333...正好等于1/3。
组合博弈论也提供了替代的实数，无穷的蓝-红Hackenbush就是一个相关的例子。1974年，Elwyn Berlekamp描述了一个Hackenbush字串与实数的二进制展开式之间的对应关系，由数据压缩的想法所促动。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL...的值是 。然而，LRLLL...的值（对应着 ）则与1相差无穷小。两个数的差是超实数1/ω，其中ω是第一个无穷序数；相关的博弈是LRRRR...或0.000...2。 另外一种也可以使以上证明不成立的方法，就是1−0.999...根本就不存在，因为减法并不一定就是可能的。具有加法运算但没有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换幺半群，以及半环。里奇曼考虑了两种这类的系统，使得0.999...<1。 首先，里奇曼把非负的“小数”定义为字面上的小数展开式。他定义了字典序和一种加法运算，注意到0.999...<1仅仅因为在个位数0<1，但对于任何一个有限小数x，都有0.999...+x=1+x。所以“小数”的一个独特之处，是等式两边不能同减一个数；另外一个独特之处，就是没有“小数”对应着1⁄3。把乘法也定义了以后，“小数”便形成了一个正的、全序的、可交换的半环。
在定义乘法的过程中，里奇曼还定义了另外一种记数系统，他称之为“切割D”，它是小数的戴德金切割的集合。通常用这种定义便可以得出实数，但对于小数d他既允许切割（−∞,d），又允许“主切割”（−∞,d]。这样做的结果，就是实数与“小数”“不舒服地住在一起”。这个系统中也有0.999...<1。在切割D中不存在正的无穷小，但存在一种“负的无穷小”── 0−，它没有小数展开式。里奇曼得出结论，0.999...=1+0−，而方程“0.999...+x=1”则没有解。 问到关于0.999...的时候，初学者常常相信应该有一个“最后的9”，也就是说，相信1−0.999...等于一个正数，可以写为“0.000...1”。不管那有没有意义，目标都是明确的：把1加在0.999...中的最后的9上，就会把所有的9变成0，并在个位数留下一个1。如果考虑到其它的原因，这种想法便不成立了，这是因为在0.999...中，并不存在“最后的9”。对于包含最后的9的无穷多个9，我们必须从别的地方去寻找。
p进数是在数论中引起兴趣的又一个数系。像实数那样，p进数可以从有理数通过柯西序列得到；但是，这种结构使用了另外一种度量，0与p之间的距离比0与1的距离还要近，而0与p^n的距离又比0与p的距离近。对于素数p来说，p进数便形成了一个域，而对于其它的p，包括10来说，则形成了一个环。所以在p进数中可以进行算术，这种记数系统也不存在无穷小。
在10进数中，类似于小数展开式的事物位于小数点的左面。10进展开式...999确实有一个最后的9，而没有第一个9。我们可以把1加在个位数上，这样进位之后就只剩下0了：1+...999=...000=0，所以...999=−1。另外一种推导用到了等比级数。“...999”所指的无穷级数在实数中不收敛，但在10进数中收敛，所以我们可以使用大家熟悉的公式：

（与前面的级数比较。）
第三种推导是一个七年级学生发明的，他对老师所讲的0.999...=1的极限证明感到怀疑，但因而产生了灵感，把以上乘以10的证明应用在相反的方向上：如果x=...999，则10x=...990，因此10x=x−9，所以x=−1。
作为一个最后的延伸，由于0.999...=1（在实数中），而...999=−1（在10进数中），那么我们可以“盲目、大胆地摆弄符号”，把两个等式相加起来，得出：...999.999...=0。这个等式在10进展开式中和标准小数展开式中都是没有意义的，但假如我们研究出一种“双小数”的理论，其中小数点左面和右面都可以无限延伸，那么这个等式便是有意义和正确的。