高中数列题 a1=2，且a（n+1）=2an-1/an 试证明
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-03-21 10:27
- 提问者网友：低吟詩仙的傷
- 2021-03-21 07:35
高中数列题 a1=2，且a（n+1）=2an-1/an 试证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：何以畏孤独
- 2021-03-21 09:07
挺简单
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- 1楼网友：酒者煙囻
- 2021-03-21 10:33
(1)当n≥2时,由a(n+1)=(2an-1)/an得an=[2a(n-1)-1]/a(n-1),即a(n-1)=1/(2-an)
要证1/(an-1)是等比数列，只需证2/(an-1)=1/[a(n+1)-1]+1/[a(n-1)-1]……①
其中a(n+1)=2-1/an，a(n-1)=1/(2-an)，代入化简即可证明①式，∴1/(an-1)是等差数列
令n=1，得1/(a₁-1)=1，令n=2，得1/(a₂-1)=2，所以公差d=1，∴1/(an-1)=n
∴an=1+1/n
(2)a(n+1)=1/(n+1)+1，代入bn，得bn=[1-根号下(n/n+1)]/根号n，分子分母同时再除以根号n，得bn=1/根号n-1/根号（n+1）
∴Sn=b₁+b₂+……+bn=1-1/根号2+1/根号2-1/根号3+……+1/根号n-1/根号(n+1)
=1-1/根号（n+1）<1
要证1/(an-1)是等比数列，只需证2/(an-1)=1/[a(n+1)-1]+1/[a(n-1)-1]……①
其中a(n+1)=2-1/an，a(n-1)=1/(2-an)，代入化简即可证明①式，∴1/(an-1)是等差数列
令n=1，得1/(a₁-1)=1，令n=2，得1/(a₂-1)=2，所以公差d=1，∴1/(an-1)=n
∴an=1+1/n
(2)a(n+1)=1/(n+1)+1，代入bn，得bn=[1-根号下(n/n+1)]/根号n，分子分母同时再除以根号n，得bn=1/根号n-1/根号（n+1）
∴Sn=b₁+b₂+……+bn=1-1/根号2+1/根号2-1/根号3+……+1/根号n-1/根号(n+1)
=1-1/根号（n+1）<1
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