设函数f(x)=x²-1,对任意的x∈[2/3,正无穷），f(x/m)-4m²f(x)≤f(x-1

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解决时间 2021-02-15 21:57

提问者网友：雨不眠的下
2021-02-15 05:40

)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是？

最佳答案

五星知识达人网友：上分大魔王
2021-02-15 06:12

把f(x)=x平方-1代入，得：
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤【（x-1)^2-1】+4（m^2-1)
展开，消去4m^2,得：x^2/m^2-1-4m^2x^2≤x^2-2x-4
把x^2项合并，常数合并，得：（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
因为x≠0，所以1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3)/x^2
令y=（-2x-3)/x^2,x∈[3/2，+∞),对y求导，知当x在（-2,0）时y递减，在（-∞，-2】和【0，+∞）时递增。所以y的最小值在x=3/2处取到，此时y1=-8/3
所以1/m^2-4m^2-1≤-8/3。同乘m^2,整理得：12m^4-5m^2-3≥0
因式分解，（4m^2-3)(3m^2+1）≥0,所以4m^2-3≥0
即m∈（-∞，-根号3/2】∪【根号3/2,+∞）

全部回答

1楼网友：一秋
2021-02-15 06:42

x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤（x-1)^2-1+4(m^2-1) x^2/m^2-4m^2x^2+4m^2≤x^2+1-2x+4m^2-4 x^2/m^2-4m^2x^2≤x^2-3 x^2(1/m^2-4m^2-1)≤-3 当1/m^2-4m^2-1>0时， x^2≤-3/(1/m^2-4m^2-1) 无实根。当1/m^2-4m^2-1<0时， 1-4m^4-m^2<0 4m^4+m^2-1>0 设t=m^2. 4t^2+t-1>0 若4t^2+t-1=0 δ=1+16=17 t=(-1±√17)/8 m^2> (-1+√17)/8或m^2<(-1-√17)/8(舍去） m<-√[(-1-√17)/8]或m>√[(-1+√17)/8] 无解或m>√[(-1+√17)/8] x^2≥-3/(1/m^2-4m^2-1) x≤-√[-3/(1/m^2-4m^2-1)](舍去）或x≥-√[-3/(1/m^2-4m^2-1)] √[-3/(1/m^2-4m^2-1)]≥3/2 -3/(1/m^2-4m^2-1)≥9/4 -1/(1/m^2-4m^2-1)≥3/4 -4≤3(1/m^2-4m^2-1) -4/3≤1/m^2-4m^2-1 -1/3≤1/m^2-4m^2 -m^2/3≤1-4m^4 4m^4-m^2/3-1≤0 12m^4-m^2-3≤0 12t^2-t-3≤0 设12t^2-t-3=0 δ=1+144=145 t=(1±√145)/24 m^2=(1±√145)/24 (1-√145)/24≤m^2≤(1+√145)/24 0

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