如图，三角形ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，DN//AB交CF于点N,M是BE的中点。

如图，三角形ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，DN//AB交CF于点N,M是BE的中点。（1）求证三角形GBC的面积=三角形ABC面积的1/3；（2）求证CDN的面积=三角形ABC面积的1/8；（3）用三角形ABC面积表示三角形DNC的面积；(4)求MN：BC。

1.由于G点是3条中线的交点，所以DG=1/3AD

所以三角形GBC的面积=三角形ABC面积的1/3。

2.因为CF是中线，

所以：

S△CBF=1/2S△ABC

又因为CD=1/2CB，DN∥BF

所以DN为三角形BFC的中位线，所以ND=1/2BF=1/4AB

所以三角形DNC的面积=1/4BCF=1/8三角形ABC的面积

即：CDN的面积=三角形ABC面积的1/8

3.用三角形ABC面积表示三角形DNC的面积：

S△ABC*1/8=S△DNC

4求MN：BC

因为ND为三角形BCF的中位线

所以CN=1/2FC，则：

GN=GC-CN=2/3CF-1/2CF=1/6CF

GM=GB-MB=2/3BE-1/2BE=1/6BE

所以：GM：GN=GB：GC ，MN∥BC

∴MN：BC=GN：GC=1/6CF：2/3CF=1：4

附加：

下面介绍三角形中线的有关知识：

1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段；
2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分；

3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心；
4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍；
5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分；

谢谢采纳。请一定要记住理解三角形中位线的性质。

∵G为△ABC三条中线的交点

∴G为△ABC的重心

∴DG=1/3AD

∴S△BGD=1/3S△ABD，S△CGD=1/3S△ADC[两组三角形均为等高，但不等底]

∴S△BGD+S△CGD=1/3S△ABD+1/3S△ADC=1/3(S△ABD+S△ADC)=1/3S△ABC=1/3S

而S△BGD+S△CGD=S△GBC

∴S△GBC=1/3S

(1)证明：∵CF是中线

∴S△CBF=1/2S△ABC=1/2S

又∵CD=1/2CB，DN∥BF

∴S△CDN=（1/2）S△CBF=1/4S△CBF=1/8S

(2)解：∵AD是中线

∴S△ADC=1/2S

而同第一问可知，S△GAC=S△GBC=1/3S[开头我证过了]

∴S△DNG=S△ADC-S△GAC-S△CDN=1/2S-1/3S-1/8S=1/24S

（2）∵D是BC的中点，DN∥BF

∴N为CF的中点

∴CN=1/2CF

∴GN=GC-CN=2/3CF-1/2CF=1/6CF

同理可得GM=1/6BE

∴GM：GN=GB：GC

∴MN∥BC

∴MN：BC=GN：GC=1/6CF：2/3CF=1：4

∵G为△ABC三条中线的交点

∴G为△ABC的重心

∴DG=1/3AD

∴S△BGD=1/3S△ABD，S△CGD=1/3S△ADC [两组三角形均为等高，但不等底]

∴S△BGD+S△CGD=1/3S△ABD+1/3S△ADC =1/3(S△ABD+S△ADC )=1/3S△ABC=1/3S

而S△BGD+S△CGD=S△GBC

∴S△GBC=1/3S

(1)证明：∵CF是中线

∴S△CBF=1/2S△ABC=1/2S

又∵CD=1/2CB，DN∥BF

∴S△CDN=（1/2）²S△CBF=1/4S△CBF=1/8S

(2)解：∵AD是中线

∴S△ADC=1/2S

而同第一问可知，S△GAC=S△GBC=1/3S[开头我证过了]

∴S△DNG=S△ADC-S△GAC-S△CDN=1/2S-1/3S-1/8S=1/24S

（2）∵D是BC的中点，DN∥BF

∴N为CF的中点

∴CN=1/2CF

∴GN=GC-CN=2/3CF-1/2CF=1/6CF

同理可得GM=1/6BE

∴GM：GN=GB：GC

∴MN∥BC

∴MN：BC=GN：GC=1/6CF：2/3CF=1：4