布丰“投针试验”怎么证明？{数学}

布丰“投针试验”怎么证明？{数学}

公元1777年的一天，法国科学家D布丰(D.Buffon 1707～1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。 试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧! 不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。” 客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!” 众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名期妙：“圆周率π? 这可是与圆半点也不沾边的呀!” 布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。 π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所以投的针当中与平行线相交的次数的m，那么当n相当大时有：π≈(2ln)/(dm) 在上面故事中，针长l恰等于平行线间距离d的一半，所以代入上面公式简化得：π≈n/m 值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算π值。其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在1901年宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为2169次，代入布丰公式求得π≈3.1415929。这与π的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同!用如此轻巧的办法，求得如此高精度的π值，这真是天工造物! 倘若祖冲之再世，也会为之惊讶得瞠目结舌! 不过，对于拉兹瑞尼的结果，人们一向非议甚多，究其原因，也不能说都没有道理，因为在数学中可以证明，最接近π真值的，分母较小的几个分数是： (1) (22)/7≈3.14 (疏率) (2) (333)/(106)≈3.1415 (3) (355)/(113)≈3.1415929 (密率) (4) (103993)/(33102)≈3.141592653 而拉兹瑞尼居然投出了密率，对于万次之内的投掷，不可能有更好的结果了。难怪有不少人提出怀疑：“有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何，现在也无从考查了! 我想，喜欢思考的美女帅哥们，一定还想知道布丰先生投针试验的原理，其实这也没什么神秘，下面就是一个简单而巧妙的证明。 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。 现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。 由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。 现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。 为了求出k来，只需注意到，对于l=πk的特殊情形，有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm) 这，就是著名的布丰公式! 利用布丰公式，我们还可设计出求：根2，根3，根5等数的近似值的投针试验呢! 亲爱的读者，难道你不想试一试吗?这只需把l/d选得等于你那个数就行，不过这时的π要当成知道的。