5道奥数题 ji

1.单独完成某项工程，甲、乙、丙3人分别要10小时、15小时、20小时，开始3人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用6小时完成这项工作，问甲实际工作了多少小时？

2.一项工程，甲独做20天完成，乙独做30天完成，现由两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息若干天，从开始到完工共用16天，问乙队休息几天？

3.一条公路，甲队独修24天完成，乙队独修30天完成，先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙3队同时开工修这条公路，几天可以完成？

4.一项工程，甲、乙2人合作4天后，再由甲独做6天才完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80，则甲、乙单独完成时各需几天？

5.一项工程，甲独做要12 小时，乙独做要18小时，若找甲做1小时，乙再做1小时；再由甲做1小时。两人如此交替工作，完成任务要多少小时？

当n＝1，排列（1，0）符合题意；当n＝4，排列（1，3，2，0）符合题意下面证明当n为质数时一定存在满足题意的排列对于每个k＝2，3，……，n，显然（k－1，n）＝1根据中国剩余定理，存在b[k]使得b[k]被k-1整除并且模n余k设b[k]=(k-1)c[k]，令a[k]为c[k]模n的最小非负余数，且令a[1]=1.下面证明＝显然a[k](k-1)≡c[k](k-1)=b[k]≡k(mod n)…………(※)当k=n,由(※)式知a[n]=0若存在1<i<n，使得a=0或1：若a=0,则由(※)式知i≡0(mod n)，矛盾若a=1,则由(※)式，i-1=a(i-1)≡i(mod n)，矛盾所以不存在这样的i若存在1<i<j<n，使得a=a[j]=a则a(ij-i)=a[j](j-1)i≡ji(mod n) a(ij-j)=a(i-1)j≡ij(mod n) =>a(j-i)≡0(mod n) 但是(a,n)=(j-i,n)=1所以这是不可能的这就是说，对于任意i,j满足1≤i<j≤n，均有a≠a[j]再证明如上构造的（a[1],a[2],……,a[n]）符合条件：事实上，a[1]=1 a[1]a[2]……a[n]=0，当k=2，3，……，n-1时连续应用(※)式：a[1]a[2]……a[k]=(2-1)a[2]a[3]……a[k]≡2a[3]a[4]……a[k]=(3-1)a[3]a[4]……a[k]≡3a[4]a[5]... ...a[k]≡(k-1)a[k]≡k(mod n)那么显然可知，排列（a[1],a[2],……,a[n]）满足题意下面证明当n为大于4的合数时不存在满足题意的排列（a[1],a[2],……,a[n]）先证一个引理：当n为大于4的合数，则一定有n|(n-1)!证明如下：当n不为完全平方数，显然成立 当n是完全平方数，设n=a^2，a≥3，则显然1<a<2a<n-1 所以显然(n-1)!中包含了n这个因子 引理得证回到原题：假设存在合数n>4满足题意则中一定没有相等的项容易知道，必然有a[n]=0（否则将至少有两项为0，矛盾）于是，a[1]a[2]……a[n-1]＝(n-1)!≡0(mod n) （由引理可得）这样，在中的最后两项模n同余于0那么一定不是一个模n的完全剩余系，所以不存在合数n>4满足题意综上所述，题目所求的n＝1或4或任意质数