已知向量OA,OB,OC和三边a,b,c,I是三角形的内心,证明向量OI=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)

已知向量OA,OB,OC和三边a,b,c,I是三角形的内心,证明向量OI=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)

设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为I.
|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c
aIA+bIB+cIC
=aIA+b(AB+IA)+c(AC+IA)
=(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0
(a+b+c)IA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)IA- b DA- c DA =aIA+(b+c)ID
又因为IA、ID反向,用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a,b/CD=IA/ID,
所以IA/ID=(b+c)/a ,又因为IA、ID反向,
故aIA+bIB+cIC=aIA+(b+c)ID =0.
而aIA+bIB+cIC=a(OA-OI) +b(OB-OI)+c(OC-OI)
=-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)
∴-(a+b+c)OI+( aOA+bOB+cOC)=0,
OI=(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)