f(x)在[a,b]上连续有导数 且f(c)=0 a<c<b F(X)=∫上x 下a f(t)dt 证明∫上a下c F(x)f'(x)dx大于等于0？

已经做出原式=[1/2F^2(x)]上a 下c F(a)=0 算出来不是小于等于0吗？求解。。

解：要证明F(x)在(a,b]上也单调递增，只需证明F(x)的导数F'(x)>0即可，证明如下：
(注：过程中如果有积分的话上限都是x，下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知，存在a<ξ 于是F'(x)=[f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a)]/(x-a)²=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
又因为f(x)在(a,b]上单调递增，所以f(x)>f(ξ),而显然x>a
所以：F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)>0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增。
证毕.

原式=∫(c,a)f(x)f'(x)dx=∫(c,a)f(x)df(x)=f(c)f(c)-f(a)f(a)-∫(c,a)f(x)df(x) 因为f(x)=∫(a,x)f(t)dt ，f(a)=0，df(x)/dx=f(x) 所以原式=-∫(c,a)f(x)df(x)=∫(a,c)f(x)df(x)=∫(a,c)f(x)*f(x)dx 因为[f(x)]^2≥0，所以原式≥0