如果满足：对于任意x∈D，存在常数M大于0，均有f（x）的绝对值≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数。其中M

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解决时间 2021-02-12 14:07

提问者网友：别再叽里呱啦
2021-02-12 09:23

如果满足：对于任意x∈D，存在常数M大于0，均有f（x）的绝对值≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数。其中M称为f（x）的上界，已知f（x）=1+a*（0.5）^x+0.25^x
g（x）=（1-m*2^x）/（1+m*2^x）
（1）当a=1时求f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由。
（2）若f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。
（3）若m＞0，g（x）在[0,1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围。

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五星知识达人网友：想偏头吻你
2021-02-12 10:28

1.不是有界函数。当a=1时， f（x）=1+（0.5）^x+0.25^x。当 x --> -∞时， (0.5）^x --> ∞, 0.25^x--> ∞. 所以不是有界函数。
2. 由 f(0) = 1+a+1 <= 3 => a <=1.
当 a<=1时， f(x) <= 1+ （0.5）^x+0.25^x <= 1+1+1=3, 所以 a <= 1.
3. g(x)= -1 + 2/（1+m*2^x), 是递减函数。
所以在[0,1]上，g(x) <= g(1) = (1-2m)/(1+2m).
所以 T（m）>= (1-2m)/(1+2m)

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1楼网友：春色三分
2021-02-12 11:23

（1）:当a=1时f（x）=1+（0.5）^x+0.25^x 在（-∞，0）上（0.5）^x>1,0.25^x>1,且在（-∞，0）上是递减函数。所以值域为（3，+∞） 显然不是上界函数。证明：对于任意m，欲使f（x）>m 即 1+（0.5）^x+0.25^x>m 化简为[（0.5）^x]² +（0.5）^x+1-m>0 这是一元二次方程，很容易看出在（-∞，0）内有解。

（2）：若f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，所以f（x）=1+a*（0.5）^x+0.25^x≤3化简为t²+at-2≤0其中t=（0.5）^x 又f（x）是在[0，+∞）上，所以0＜t≤1 已知t²+at-2 开口向上，且过点（0，-2）所以只需当t≤1，t²+at-2≤0即可。解得a≤1

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