过椭圆x22+y2＝1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．（1

过椭圆
x2
2 +y2＝1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

（1）由椭圆方程，a=



2 ，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则
x0=
x1+x2
2 =-
2k2
2k2+1 ，y0=k（x0+1）=
k
2k2+1 ，
由点M在直线x+2y=0上，知-2k2+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）将k=1代入①式，得3x2+4x=0，
不妨设x1＞x2，则x1=0，x2=-
4
3 ，…（8分）
记α=∠ACF，β=∠BCF，则
tanα=
y1
x1+2 =
x1+1
x1+2 =
1
2 ，tanβ=-
y2
x2+2 =-
x2+1
x2+2 =
1
2 ，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α=
2tanα
1?tan2α =
4
3 ．…（12分）

虽然我很聪明，但这么说真的难到我了