三角形内心是否是角平分线的三等分点

给个证明

“内心将顶点的角平分线分为了3:1”，应该不对
你假设一种更特殊的情况，该三角形为等边三角形，那么根据等比三角形及内心的性质，可以分析出内心将角平分线分成了2:1，不是3:1。
此题的面积不好求，刚才算了半天，最后得出一个这样的方程，实在解不下去了：16S³-480S²+4581S-13500=0
思路是这样的，楼主不妨自己去解解看：
分别将三角形的三个顶点和内心连起来，可得到3个小三角形，容易其中两个小三角形的面积是相等的，就是以腰为底的两个小三角形，他们的面积均为1/2 * 5 * 3/2=15/4。假设三角形底边长为d，则以底边为底的小三角形面积为1/2 * d * 3/2
因此，整个等腰三角形的面积S=15/4+3d/4 记为(1)式
另外，此等腰三角形的面积还可以这样算：S=1/2 * d * 根号(5²-d²/4)，记为(2)式，其中“根号(5²-d²/4)”即为等腰三角形底边上的高。
从(1)式可以解出d=4S/3-10，将其代入(2)式，可得到关于S的方程，最后化简的结果如前面所述，很难解这个方程。
楼主可以试试

不是

有可能。如果设底边长为3，最短直角边为a的话，满足上述条件的a的范围是0<a<（根号下17）/2-1/2。我用全等三角形（翻折）和三角形两边之和大于第三边来算的范围。在这种情况下可以求出a的值。在a边上取第一个三等分点，与斜边的第一个三等分点连接得小三角形，斜边为1，直角边为a/3和2a/3（直角平分线出45°），所以(1/9)a^2+(4/9)a^2=1，a=3÷（根号五）。