函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0，x∈R}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）当f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函数时，若f（x-1）＜2，求x的取值范围．

解：（1）取x2=1，得f（x1×1）=f（x1）+f（1），即f（x1）=f（x1）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）令x1=x2=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0
再令x1=-1，x2=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）在D上为偶函数
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2
∵f（x）在D上为偶函数，
∴不等式f（x-1）＜2等价于f（|x-1|）＜2
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，由函数的定义域知|x-1|＞0
∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，
即原不等式的解集为（-15，1]∪[1，17）解析分析：（1）在题中所给函数关系式中取x2=1，化简即可计算出f（1）的值等于0；
（2）令x1=x2=-1，代入题中等式算出f（-1）=0．再令x1=-1且x2=x代入，即可算出f（-x）=f（x），根据函数奇偶性定义可得f（x）在D上为偶函数；
（3）令x1=x2=4，算出f（16）=2．由函数为偶函数，将不等式f（x-1）＜2转化成f（|x-1|）＜2，结合函数的单调性将问题转化为解不等式0＜|x-1|＜16，根据绝对值不等式的解法法则即可得到满足条件x的取值范围．
点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．

感谢回答，我学习了