证明实二次型f=x∧ΤAx为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU.

证明实二次型f=x∧ΤAx为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU.

首先证明充分性：由于 存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU，A与单位矩阵合同，所以A正定；
再证明必要性：由于 A是正定矩阵，一定可以表示成 一个可逆矩阵的转置和A的特征值 和 可逆矩阵的乘积的形式，因为A正定，A的特征值都大于零，所以可开平方，把A表示成对角线是它的特征值开方 的乘积的形式，令前面两个矩阵为U 即可。