如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是斜边AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，且ED⊥DF，求证：三角形EDF是等腰三角形

如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是斜边AB的中点，点E,F分别在边AC,BC上，且ED⊥DF，求证：三角形EDF是等腰三角形

连结CD；

∵AB=AC，∠C=90°

∴△ABC是等腰直角三角形

∴CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，且CD⊥AB

∴∠ACD=∠BCD=45°

∵CD⊥AB，ED⊥DF

∴∠CDE=∠BDF（同角的余角相等）

∵∠ACD=∠B=45°，CD=BD，∠CDE=∠BDF

∴△CDE≌△BDF（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）

∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）

∴△EDF是等腰三角形（有两边相等的三角形叫做等腰三角形）

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∵∴∠△

∵AC=BC ∴∠A=∠B（等腰三角形）

∵D是△ABC的中点 ∴AD=BD

∵ED⊥DF ∴CD是∠EDF的角平分线 ∴∠EDC=FDC

∵∠ADE+∠EDC=90° ∠BDF+∠FDC=90°

∴∠ADE=∠BDF ∴△AED≌△BDF（ASA）

因为三角形ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，所以AD=BD=CD(直角三角形三角形中线定理)，又角DBF=角DCE＝45度，角BDF+角FDC=角FDC+角EDC=90度,所以角BDF=角CDE,所以三角形BDF=三角形CDE(角边角)，则DE=DF,所以三角形EDF是等腰三角形。