设函数f（x）对于任意x,y∈R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且f（x）在区间[0,＋∞

答案:4 悬赏:60 手机版

解决时间 2021-03-02 02:03

提问者网友：我们很暧昧
2021-03-01 03:19

设函数f（x）对于任意x,y∈R,都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且f（x）在区间[0,＋∞）时是减函数，f（1）＝－2.
⑴,求f（0）
⑵,证明f（x）是奇函数。
⑶,若f（x²－1）＋f（x）＞2,求x的取值范围。

最佳答案

五星知识达人网友：长青诗
2021-03-01 04:49

（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
2)由(1)知（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．⇒f（x2-x1）＜0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴y=f（x）在R上为减函数．
f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1)>f(-1)=-f(1)=2

x²-1+x<-1. -1

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1楼网友：杯酒困英雄
2021-03-01 06:37

(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，当x=y=0时，可得f(0)=0,当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x).故函数f(x)为奇函数。（2）解：当0≤x1＜x2时，x2-x1＞0,由题设可知，f(x2-x1)＜0,又由题设知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).===>f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)＜0.===>f(x1)＞f(x2).故在[0,+∞)上，函数f(x)递减。结合函数的奇偶性可知，在r上，函数f(x)递减，故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2,可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

2楼网友：一秋
2021-03-01 06:26

(1)取x=0，y=0 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) f(0)=0 (2)任取x，y。令y=-x f(0)=f(x)+f(-x)=0 所以f(x)是奇函数 (3)f(x²-1)+f(x)=f(x²+x-1) =f(x²+x)+f(-1) =f(x²+x)-f(1) =f(x²+x)+2＞2 所以f(x²+x)＞0 f(x)是奇函数，在[0，+∞)递增，所以在(-∞，0)上也递增。 f(0)=0 所以x²+x＞0 x(x+1)＞0 解得:x＜-1或x＞0 x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)

3楼网友：一把行者刀
2021-03-01 06:18

(1) 令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=2f(0)，得f(0)=0 (2) 令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，∴f(x)+f(-x)=0，∴f(x)是奇函数 (3) f(x²-1)+f(x)=f(x²-1+x)，f(-1)=-f(1)=2 ∴f(x²-1+x)>f(-1) ∵f(x)在[0,+∞)上是减函数，且f(x)为奇函数，∴f(x)在R上也是减函数 ∴x²-1+x<-1，得x(x+1)<0，∴解得-1

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