证明：（1＋1/2^2)(1+1/2^4）……（1＋1/2^2n）<e （n为正整数，e为自然对数的底数）
答案:1 悬赏:40 手机版
解决时间 2021-02-12 02:54
- 提问者网友：难遇难求
- 2021-02-11 22:05
应该不难，可是我一下子短路了没做出来，哪位大虾拜托帮帮忙，谢了……
最佳答案
- 五星知识达人网友：过活
- 2021-02-11 22:22
利用ln(1+x)<x【x∈(0,+∞)】
这个不等式用导数法易证
∴ln[1+1/(2^2)]<1/(2^2)
ln[1+1/(2^4)]<1/(2^4)
……
ln[1+1/(2^2n)]<1/(2^2n)
以上n个式子求和：
ln{[1+1/(2^2)][1+1/(2^4)]……[1+1/(2^2n)]}
<1/(2^2)+1/(2^4)+……+1/(2^2n)
=(1/4)[1-(1/4)^n]/(1-1/4)
=(1/3)[1-(1/4)^n]
<1/3
∴[1+1/(2^2)][1+1/(2^4)]……[1+1/(2^2n)]<e^(1/3)<e
这也放得太宽了
我怀疑你抄错题了吧
我觉得应该是(1+1/2)(1+1/2^2)……(1+1/2^n)<e
这样比较合适
这个不等式用导数法易证
∴ln[1+1/(2^2)]<1/(2^2)
ln[1+1/(2^4)]<1/(2^4)
……
ln[1+1/(2^2n)]<1/(2^2n)
以上n个式子求和：
ln{[1+1/(2^2)][1+1/(2^4)]……[1+1/(2^2n)]}
<1/(2^2)+1/(2^4)+……+1/(2^2n)
=(1/4)[1-(1/4)^n]/(1-1/4)
=(1/3)[1-(1/4)^n]
<1/3
∴[1+1/(2^2)][1+1/(2^4)]……[1+1/(2^2n)]<e^(1/3)<e
这也放得太宽了
我怀疑你抄错题了吧
我觉得应该是(1+1/2)(1+1/2^2)……(1+1/2^n)<e
这样比较合适
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