用数学归纳法证明下题: 1.1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2n-1)^3-(2n)^3=-n^2(4n+3) 要详细过程,thanks!!
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解决时间 2021-11-19 00:46
- 提问者网友：川水往事
- 2021-11-18 05:05
用数学归纳法证明下题: 1.1^3-2^3+3^3-4^3+...+(2n-1)^3-(2n)^3=-n^2(4n+3) 要详细过程,thanks!!
最佳答案
- 五星知识达人网友：夜风逐马
- 2021-11-18 05:38
证明：当n=1时，1^3-2^3=-7=1^2（4*1+3）成立；
假设当n=k时，1^3-2^3+3^3-4^3+。。。+(2k-1)^3-(2k)^3=-k^2(4k+3)成立；
当n=k+1时，1^3-2^3+3^3-4^3+。。。+（2k-1)^3-(2k)^3+(2k+1)^3-(2k+2)^3
=-k^2(4k+3)+(2k+1)^3-(2k+2)^3
=-k^2(4k+3)-[(4k^2+4k+1)+(4k^2+6k+2)+4k^2+8k+4)]
=-k^2(4k+3)-(12k^2+18k+7)
=-4k^3-15k^2-18k-7
=-(k+1)(4k^2+11k+7)
=-(k+1)^2(4k+4+3)
即当n=k+1时结论成立
亦即当n为正整数时原命题成立。
假设当n=k时，1^3-2^3+3^3-4^3+。。。+(2k-1)^3-(2k)^3=-k^2(4k+3)成立；
当n=k+1时，1^3-2^3+3^3-4^3+。。。+（2k-1)^3-(2k)^3+(2k+1)^3-(2k+2)^3
=-k^2(4k+3)+(2k+1)^3-(2k+2)^3
=-k^2(4k+3)-[(4k^2+4k+1)+(4k^2+6k+2)+4k^2+8k+4)]
=-k^2(4k+3)-(12k^2+18k+7)
=-4k^3-15k^2-18k-7
=-(k+1)(4k^2+11k+7)
=-(k+1)^2(4k+4+3)
即当n=k+1时结论成立
亦即当n为正整数时原命题成立。
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