如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC2+PD2为定值
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解决时间 2021-03-17 05:42
- 提问者网友：趣果有间
- 2021-03-16 18:36
如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC2+PD2为定值
最佳答案
- 五星知识达人网友：玩世
- 2021-03-16 18:56
证明：当点p与O点重合时，
PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方（为定值）．
PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方（为定值）．
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