已知θ为正锐角，求证sinθ+cosθ<π/2

sinθ+cosθ=根号2倍的sin(θ+45°）

麻烦解释一下

sinθ+cosθ=√2(sinθ*√2/2+cosθ*√2/2)
又因为有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,且sin45=cos45=√2/2
所以sinθ*√2/2+cosθ*√2/2=sinθ*cos45+cosθ*sin45=sin(θ+45°）
所以sinθ+cosθ=√2(sinθ*√2/2+cosθ*√2/2)=√2sin(θ+45°）得证

原题中，sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°），且sin(θ+45°）小于等于1，所以√2sin(θ+45°）小于等于√2，又因为√2小于1.5且π/2约等于3.14/2大于1.5，所以sinθ+cosθ<π/2
原式得证。

正难则反：若α＋β＜π/2，则0＜α＜π/2－β，因此cosα＞cos(π/2－β)＝sinβ＞0，从而cosα/sinβ＞1；同样可以证明cosβ/sinα＞1，因此cosα/sinβ+cosβ/sinα＞2，这与题设矛盾，故不可能。 若α＋β＞π/2，类似可以证明cosα/sinβ+cosβ/sinα＜2，也与题设矛盾，即也不可能。 综合上述两种情况，只能有α+β=π/2。