设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值我这样证明行不行呢如果不行 为什么Ax=kx
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解决时间 2021-03-03 07:10
- 提问者网友:富士山上尢
- 2021-03-02 10:50
设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值我这样证明行不行呢如果不行 为什么Ax=kx
最佳答案
- 五星知识达人网友:酒安江南
- 2021-03-02 11:54
符号||既能代表向量(n×1阶)的模,又能代表方阵(n×n阶)的行列式,两个概念不能混淆.|x|代表向量的模,一般不能直接与|A|这个行列式值相乘得到Ax的模.常数k的话,倒是可以相乘的,即kx的模等于k的模乘向量x的模.正交矩阵的性质是Ax的模和x的模相等,即|Ax|=|x|(这是因为|Ax|^2=(A*x)'*(A*x)=x'*A'*A*x=x'*(A'*A)*x=x'*I*x=x'*x=|x|^2).由Ax=lamda*x,两边取模|x|=|lamda|*|x|,因为|x|非零,因此可以推出|lamda|=1,即正交矩阵的特征值的模是1(包括复数的模).这道题的一个正确做法是:A的特征多项式的根即A的特征值,前面已经证明了他们的模都是1,而且复数特征值都是成对共轭地出现(代数基本定理,实系数多项式的复数根都是共轭成对出现),因为行列式等于特征值的乘积,所以lamda(1)*lamda(2)*...*lamda(n)=|A|=-1,如果lamda里没有-1,那个A的实特征值只能有+1,而且共轭模1的特征值的成对乘积都是+1,所以|A|就应该是+1,而不是-1,这就矛盾了.网页参考:代数基本定理(仅作参考,证明太复杂,不需要细看).
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- 1楼网友:人间朝暮
- 2021-03-02 12:58
这个答案应该是对的
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