设Q（x，y）在xoy平面上有一阶连续偏导数，曲线积分∫L 2xydx+Q（x，y）与路径无关，对任意t恒有

∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1，t）的积分，求Q（x，y）

令P(X,Y)=2XY
积分与路径无关，所以偏P偏y=偏Q偏x，即2x=偏Q偏x，所以Q=x^2+f(y)
现在要想方法解出f(y)
可用有向直线段依次连接（0,0），（1，t)，(t，1）。因积分与路径无关，所以在这样的封闭的三角形边上的积分∫L 2xydx+Q(x,y)dy=0，又“∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点（0,0）到（t,1）的积分等于从点（0,0）到（1，t）的积分”，所以从（1,t)到（1，t)的直线上的积分∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0，
可将x=-y+t+1带入到∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0中，
得到∫ [2（-y+t+1）y]d（-y+t+1）+[（-y+t+1）^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
再解这个方程就可得到f(y)的表达式了
如果不明白欢迎继续追问

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