求著名的折射定律的证明

折射定律
【折射定律】由荷兰数学家斯涅尔发现,是在光的折射现象中,确定折射光线方向的定律.当光由第一媒质（折射率n1）射入第二媒质（折射率n2）时,在平滑界面上,部分光由第一媒质进入第二媒质后即发生折射.实验指出：（1）折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内；（2）折射线和入射线分别在法线的两侧；（3）入射角i的正弦和折射角i′的正弦的比值,对折射率一定的两种媒质来说是一个常数.
浅显的说,就是光由光速大的介质中进入光速小的介质中时,折射角小于入射角；从光速小的介质进入光速大的介质中时,折射角大于入射角.

此定律是几何光学的基本实验定律.它适用于均匀的各向同性的媒质.用来控制光路和用来成象的各种光学仪器,其光路结构原理主要是根据光的折射和反射定律.此定律也可根据光的波动概念导出,所以它也可应用于无线电波和声波等的折射现象.
折射定律（law of refraction） 或 斯涅尔定律[1]（Snell's Law）
光线通过两介质的界面折射时,确定入射光线与折射光线传播方向间关系的定律,几何光学基本定律之一.如图,入射光线与通过入射点的界面法线所构成的平面称为入射面,入射光线和折射光线与法线的夹角分别称为入射角和折射角,以θi和θt表示.折射定律为:①折射光线在入射面内.②入射角和折射角的正弦之比为一常数,用n21表示,即
sinθi/sinθt=n21
sinθi/sinθt=v1/v2=n21
式中n21称为第二介质对第一介质的相对折射率.
最早定量研究折射现象的是公元2世纪希腊人C.托勒密,他测定了光从空气向水中折射时入射角与折射角的对应关系,虽然实验结果并不精确,但他是第一个通过实验定量研究折射规律的人.1621年,荷兰数学家W.斯涅耳通过实验精确确定了入射角与折射角的余割之比为一常数的规律,即
cscθi/cscθt=常数
故折射定律又称斯涅耳定律.1637年,法国人R.笛卡儿在《折光学》一书中首次公布了具有现代形式正弦之比的规律.与光的反射定律一样,最初由实验确定的折射定律可根据费马原理、惠更斯原理或光的电磁理论证明之.
上述光的折射定律只适用于由各向同性介质构成的静止界面.
下面我就来说说光为什么这样传播：
一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点,已知光在空气和水中传播的速度分别是v1和v2,
折射图
光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.试确定光线传播的路径.
设A点到达水面的垂直距离为AO=h1,B点到水面的垂直距离为BQ=h2,x轴沿水面过点O、Q,其中OQ的长度为l
由于光线总是沿着耗时最少的路径传播,因此光线在同一介质内必沿着直线传播.设光线的传播路径与x轴的交点为P,
OP=x,则光线从A到B的传播路径必为折线APB,其所需要的传播时间为：
T（x）=sqrt（h1^2+x^2）/v1 + sqrt[h2^2+(l-x)^2] /v2 , x∈[0,l].
下面来确定x满足什么条件时,T（x）在[0,l]上取得最小值.
由于
T‘（x）=1/v1 * x/sqrt(h1^2+x^2) - 1/v2 * (l-x)/sqrt（h2^2+(l-x)^2）, x∈[0,l] 注释：T'（x）为T（x）的一阶导数
T''（x）=1/v1 * h1^2/sqrt[(h1^2+x^2)^3] + 1/v2 * h2^2/sqrt[(h2^2+(l-x)^2)^3] > 0 , x∈[0,l] T''（x）为T（x）的二阶导数
T'（0）<0,T'(l)>0,
又T'(x)在[0,l]上连续,故T'(x)在（0,l）内存在唯一零点x0是T（x）在（0,l）内的唯一极小值点,从而也是T（x）在[0,l]上的最小值点.
设x0满足T'（x）=0,即
x0 / v1*sqrt(h1^2+x0^2) = (l-x) / v2*sqrt(h2^2+(l-x0)^2)
记
x0 / sqrt(h1^2+x0^2) =sinθ1 , (l-x0) /sqrt[h2^2+(l-x0)^2] =sinθ2
就得到
sinθ1/v1 =sinθ2/v2
这就是说,当P点满足以上条件时,APB就是光线的传播路径.上式就是光学中著名的折射定律,其中θ1,θ2分别是光线的入射角和折射角.

名师点评：

阿左by92