急。f(x)为连续的偶函数，求证∫（上限为a，下限为-a）f(x)dx=2∫（上限为a,下限为0）f(x)dx

答案:2 悬赏:60 手机版

解决时间 2021-03-24 04:21

提问者网友：最美的风景
2021-03-23 07:27

我就记得这个证明是对的，过程忘了，然后这道题怎么算左边都是0，只好求助了。。

最佳答案

五星知识达人网友：鱼忧
2021-03-23 07:56

∫（上限为a，下限为-a）f(x)dx=∫（上限为a，下限为0）f(x)dx+∫（上限为0，下限为-a）f(x)dx
t=-x,x=-t,dx=-dt
x--->-a，t--->a
x--->0,t--->0,
∫（上限为0，下限为-a）f(x)dx
=∫（上限为0，下限为a）f(-t)(-dt)
=∫（上限为0，下限为a）(-f(t)dt)
==∫（上限为a，下限为0）f(t)dt
=∫（上限为a，下限为0）f(x)dx
所以
∫（上限为a，下限为-a）f(x)dx=∫（上限为a，下限为0）f(x)dx+∫（上限为0，下限为-a）f(x)dx
=2∫（上限为a,下限为0）f(x)dx

全部回答

1楼网友：掌灯师
2021-03-23 09:16

i = ∫<0, 1>f(x)dx∫f(y)dy = ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, 1>f(y)dy - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy = a^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy（后者交换积分次序） = a^2 - ∫<0, 1>f(y)dy∫f(x)dx （定积分与积分变量无关，将x换为y，将y换为x） i = a^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫f(y)dy = a^2 - i, 得 i = (1/2)a^2

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