设f(x)=a/x+ x㏑x，g(x)=x^3-x^2-3.

设f(x)=a/x+ x㏑x，g(x)=x^3-x^2-3.

答案见图（h(x)的最大值是观察出来的）

最大整数M应为“g(x)的最小值-g(x)的最大值”吧？算出来是-5.（因为要M<=g(x1)-g(x2)的最小值）

第一问：
g(x)的导函数3x^2-2x，在[0，2/3]上小于等于0，（2/3，2]上大于0
因此g(x)在2/3时取极小值-85/27，而显然g(2)=1>-3=g(0)是极大值
g(2)-g(2/3)略大于4，M=4
第二问：
即令f(x)在[1/2，2]上的极小值大于1=g(2)
（1）如果0≥a，f(x)是单调递增的，只需：
f（1/2）=2a-（1/2）*ln2≥1,解得a≥(1/2)(（1/2）*ln2+1)>0，矛盾
（2）于是必须a>0,对f(x)求导,导函数为：
-a/x^2+lnx+1，是个单调递增函数，x=1/2时，它等于1-ln2-4a，
i）若此式非负，则f(x)是单调递增的,
即联立1-ln2-4a≥0与a≥(1/2)(（1/2）*ln2+1)
两式矛盾，得不出符合题意的a
ii)此式为负时，a>(1-ln2)/4
又分两情况：
a）x=2时，若0≥-a/x^2+lnx+1=1+ln2-a/4，即a≥4(1+ln2)
则f(2)是极小值，令2ln2+a/2≥1，
联立求得a≥4(1+ln2)符合题意
b)若(1-ln2)/4解a/x0+x0lnx0≥1，联立(1-ln2)/4写了半天，还是有个方程不会解，郁闷...
看了楼上知道俺是如何舍近求远了！杯具！！