(2/2)数y=f(x)的图象与函数y=3x+k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围

(2/2)数y=f(x)的图象与函数y=3x+k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围

已知f(x)=x的3次方+bx的2次方+cx，且f(x)在x=1时有极值-3。(1)求f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象与函数y=3x+k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围
(1)解析：∵f(x)=x^3+bx^2+cx，f(x)在x=1时有极值-3。
令f‘(x)=3x^2+2bx+c=0==>x1=[-2b-√(4b^2-12c)]/6，x2=[-2b+√(4b^2-12c)]/6，
∴x2=[-2b+√(4b^2-12c)]/6=1==>c=-(3+2b)
F(1)=1+b+c=-3==>b+c=-4
二式联立解得b=1，c=-5
∴f(x)=x^3+x^2-5x==> f’(x)=3x^2+2x-5=0==>x1=-5/3,x2=1
f”(x)=6x+2==> f”(x1)=-8<0，f”(x2)=8>0
∴当x∈(-∞,-5/3)时，f(x)单调增；当x∈(-5/3,1)时，f(x)单调减；当x∈(1,+∞,)时，f(x)单调增；

(2)解析：∵函数y=f(x)的图象与函数y=3x+k的图象恰有三个不同的交点
令f’(x)=3x^2+2x-5=3
解得x1=-2，x2=4/3
f(-2)=-8+4+10=6，f(4/3)=64/27+16/9-20/3=-8/3
∴实数k的取值范围为（-8/3,6）

把y=0带入得x=3 所以与x轴的交点坐标为（3，0）

已知f(x)=x^3+bx^2+cx，且f(x)在x=1时有极值-3。 (1)求f(x)的单调区间; f’(x)=3x^2+2bx+c f(1)=1+b+c=-3 f’(1)=3+2b+c=0 解得 b=1 c=-5 f(x)=x^3+x^2-5x f(x)’=3x^2+2x-5 =(3x-1)(x+5) x>1/3 f’(x)>0 f(x)增 -50 f(x)增 (2)若函数y=f(x)的图象与函数y=3x+k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围 y=x^3+x^2-5x y=3x+k 令g(x)=(x^3+x^2-5x)-(3x+k) =x^3+x^2-8x-k g’(x)=3x+2x-8=0 (3x-4)(x+2)=0 x1=4/3 x2=-2 x1 x2为极值点 g(x1)=64/27+16/9-32/3-k=-176/27-k g(x2)=-8+4+16-k=12-k g(x2)>g(x1) g(x2)为极大值 g(x1)为极小值 有三个不同的交点 则g(x2)>0 g(x1)<0 -176/27-k<0 k>-176/27 12-k>0 k<12 k取值 (-176/27,12)