有界数集的证明

1.有界数集的定义是什么. 2.开区间是有界数集吗，例如（1，2）是有界数集吗，为什么？ 3.求证：数集A有界的充要条件是数集A既有上界又有下界。

1.考虑一个数集M。如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界；用数学符号表示为：对一切x∈M，有x≤s，则s是M的上界。
考虑一个数集M，如果有一个实数S，使得M中任何数都大于等于S，那么就称S是M的一个下界，用数学符号表示为：对一切x∈M，有x≥s，则s是M的下界。
如果这个数集又有上界有有下界 那么就叫有界数集。
2.是的，因为满足1中的定义，注意如果定义是说上确界，那么就不满足了。
3.直接利用有界数集的定义

首先对r^n来说，紧致性和列紧性是等价的概念（对一般的距离空间也是如此），具有这种性质的紧集又称为紧致-列紧集，证明紧集是有界闭集用列紧性的概念比较容易。用反证法，列紧性是说集合中的任意点列都有收敛于该集合中某点的子列，假设紧集a不是有界的，那么就存在点列xn使得||xn||>n，如果这点列有收敛于集合a中点a的子列xnk，即limxnk=a，那么这就和||xnk||>nk矛盾了；再假设紧集a不是闭的，那么就存在点列yn使得limyn=b不属于a，从而yn的任何子列也都收敛于b，yn也就不可能有子列收敛于a中某点了，矛盾。从以上两个矛盾证明了，紧集一定是有界闭集。