设f（X）=x²+px+q,求证：绝对值的f（1），绝对值的f（2），绝对值的f（3），中至少有一个不小于1/2
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解决时间 2021-02-13 05:34
- 提问者网友：骨子里的高雅
- 2021-02-12 18:11
设f（X）=x²+px+q,求证：绝对值的f（1），绝对值的f（2），绝对值的f（3），中至少有一个不小于1/2
最佳答案
- 五星知识达人网友：冷風如刀
- 2021-02-12 18:57
【证明】（反证法）
假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2,
注意到f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b, f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<1/2+1/2+2*1/2=2
又因为上式左边f(1)+f(3)-2f(2)=2
所以2<2,推出矛盾
所以假设不成立，故原命题得证！
假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2,
注意到f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b, f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<1/2+1/2+2*1/2=2
又因为上式左边f(1)+f(3)-2f(2)=2
所以2<2,推出矛盾
所以假设不成立，故原命题得证！
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- 1楼网友：北城痞子
- 2021-02-12 19:40
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