已知f（x）=x+（1／x）-2，若不等式f（2^k）-k乘2^k＞=0在x属于[-1，1]时恒成
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解决时间 2021-01-25 22:36
- 提问者网友：泪痣哥哥
- 2021-01-25 01:43
已知f（x）=x+（1／x）-2，若不等式f（2^k）-k乘2^k＞=0在x属于[-1，1]时恒成立，求k取值范围。
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤老序
- 2021-01-25 02:28
f（x）=x+1／x-2，
不等式f（2^k）-k*2^k＞=0在x属于[-1，1]时恒成立变为
2^k+1/2^k-2-k*2^k>=0,2^k∈[-1,1],
∴（1-k)(2^k)^2-2*2^k+1>=0,k<=0,
△（2^k)=4-4(1-k)=4k,
1)k=0时不等式变为0>=0,成立；
2）k<0时1-k>0,△<0,不等式成立。
综上，k的取值范围是（-∞，0].
不等式f（2^k）-k*2^k＞=0在x属于[-1，1]时恒成立变为
2^k+1/2^k-2-k*2^k>=0,2^k∈[-1,1],
∴（1-k)(2^k)^2-2*2^k+1>=0,k<=0,
△（2^k)=4-4(1-k)=4k,
1)k=0时不等式变为0>=0,成立；
2）k<0时1-k>0,△<0,不等式成立。
综上，k的取值范围是（-∞，0].
全部回答
- 1楼网友：忘川信使
- 2021-01-25 03:03
2^2+1/(2^x)-2-k*x^2>=0
k<=[2^x+1/(2^x-2)]/2^x
即求右边最小值
右边=1+1/[(2^x)]^2-2/(2^x)
令1/(2^x)=t
则t^2-2t+1>=0
所以右边最小值为0
当t=1时，即x=0时等号成立
所以右边最小值为0
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