已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，则方程f（

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，则方程f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（　　）
A. （0，

1

2

根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
则f（x）=log₂x+2，f′（x）=
1
ln2?x，
将f（x）=log₂x+2，f′（x）=
1
ln2?x代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-
1
ln2?x=2，
即log₂x-
1
ln2?x=0，
令h（x）=log₂x-
1
ln2?x，
分析易得h（1）=
1
ln2＜0，h（2）=1-
1
2ln2＞0，
则h（x）=log₂x-
1
ln2?x的零点在（1，2）之间，
则方程log₂x-
1
ln2?x=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故选C．

试题解析：

根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）-log₂x为定值，可以设t=f（x）-log₂x，则f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）-f′（x）=2，变形化简可得log₂x-

1

ln2?x

=0，令h（x）=log₂x-

1

ln2?x

，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．

名师点评：

本题考点： 根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．