复变函数根号下cosz是单值还是多值函数，怎么判断的

复变函数根号下cosz是单值还是多值函数，怎么判断的

我们判断一个函数是不是单值的，一定要把它的结构、每个部分的定义理解清楚。就本题而言，函数sqrt(cos z)是一个复合函数，其中外函数是分数次幂函数w=sqrt(t)，内函数是余弦函数t=cos z。下面我们从内到外进行判断：
cos z=[e^iz+e^(-iz)]/2，这里我们可以进一步将cos z看作外函数t=s/2+1/2s，次外函数s=exp(q),内函数q=iz。
因为q=iz是关于z的单值函数（乘法结果的唯一性决定的），又因为s=exp(q)是单值函数（复指数函数的定义决定的），所以s是关于z的单值函数（复合函数的性质决定的），且s的值域是全体非零复数。
又因为t=s/2+1/2s是单值函数（四则运算的性质决定的），且根据函数t 的取值特点，所以t是关于z的单值函数，且t的值域是全体非零复数。
因为w=sqrt(t)在实数域内是关于t的单值函数，而在复数域则是关于t的多值函数，又因为t的值域是全体非零复数，所以w是关于z的多值函数。
解毕。