选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线L的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线L的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 x= 3 cosa y=sina （1）求曲线C的普通方程；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值．

（1）由曲线C的参数方程为






x=


3 cosa
y=sina ，
得







x



3 =cosa①
y=sina② ，① 2 +② 2 得，
x 2
3 + y 2 =1 ；
（2）设与直线L平行的直线为x-y+m=0，
联立






x-y+m=0

x 2
3 + y 2 =1 ，得4x 2 +6mx+3m 2 -3=0，
由△=36m 2 -16（3m 2 -3）=-12m 2 +48=0，得m=±2．
所以当m=2时，即直线x-y+2=0与椭圆相切时，椭圆上的动点为切点时到直线x-y+4=0的距离最小，
最小距离为d=
|4-2|



2 =


2 ．

（ⅰ）p（0，4），点p在直线 上（ⅱ）最小值为 ，最大值为 （ⅲ） 或 试题分析：（i）把极坐标系下的点 化为直角坐标，得p（0，4）2分 因为点p的直角坐标（0，4）满足直线 的方程 ，所以点p在直线 上.4分 （ii）因为点q在曲线c上，故可设点q的坐标为 ，5分 从而点q到直线 的距离为 ，    6分 由此得，当 时，d取得最小值，且最小值为 当 时，d取得最大值，且最大值为         8分 （ⅲ）设 平行线m方程：                9分 设o到直线m的距离为d，则    10分 经验证均满足题意 ，所求方程为 或       12分 点评：极坐标 与直角坐标 的互化 ，第二问求距离的最值首先找到距离的表达式，借助于三角函数参数的有界性求得最值，第三问是直线与椭圆相交问题，此题求三角形面积用到了弦长，因此联立方程求出弦长得到面积