(1-x+x^2)分之一的不定积分

(1-x+x^2)分之一的不定积分

分母是平方怎么计算

∫1/(1-x+x^2) dx
=∫1/[3/4+(x-1/2)^2] dx
=4/3*∫1/[1+4/3*(x-1/2)^2] dx
=4/3*∫1/{1+[2/√3*(x-1/2)]^2} dx
=4/3*∫1/{1+[2/√3*(x-1/2)]^2} d(x-1/2)
=2/√3*∫1/{1+[2/√3*(x-1/2)]^2} d[2/√3*(x-1/2)]
=2/√3*arctan[2/√3*(x-1/2)]+C
望采纳

∫1/(x²-x+1)dx=∫1/[(x-1/2)²+3/4]dx=(4/3)∫1/[1+(2√3x/3-√3/3)²]dx
=(4/3)(√3/2)∫1/[1+(2√3x/3-√3/3)²]d(2√3x/3-√3/3)
=(2√3/3)∫1/[1+(2√3x/3-√3/3)²]d(2√3x/3-√3/3)
=(2√3/3)arctan(2√3x/3-√3/3)+C

欲求解的积分为：

看到此题应联想到如下公式：

因此思路就是将分母凑出“x^2+1”的形式，然后后利用上述积分公式计算。
具体步骤：
将分母凑出“x^2+1” 的形式：

带回原式：

换元:

将x用y表示为：

两边同时微分有：

将3、4、5步得到的结果带入第2步，得到最终结果：

证明完毕。