我遇到一道例题,他是这么说的I是三角形ABC的内心,IG垂直与AB,则AG=1/2(AB+AC-BC)理由是：三角形内心

我遇到一道例题,他是这么说的I是三角形ABC的内心,IG垂直与AB,则AG=1/2(AB+AC-BC)理由是：三角形内心的性质,这是怎么回事?三角形内心性质到底是什么?另外完整的题目是：如图三角形ABC的三边满足BC=1/2(AB+AC),O、I分别是三角形ABC的外心和内心,∠BAC的外交平分线交圆O与E,AI的,延长线叫圆O与D,DE交BC与H.求证：（1）AI=BD（2）OI=1/2AE

第一个问题
三角形ABC的内心,IG垂直与AB,则AG=1/2(AB+AC-BC)
证明：画出三角形的内切圆,在AB上切点为G,BC上切点为H,AC上切点K
则AG=AK,CK=CH,BH=BG
1/2(AC+AB-BC)= 1/2(AK+KC+AG+GB-BH-CH)= 1/2(AK+AG)=AG
第二个问题：
(1)证明：∵AE是∠BAC外角平分线,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥AE
DE是外接圆直径
∵AD是∠BAC的平分线,∴BD弧=DC弧,即BD=DC,DE垂直且平分BC
过I作IG⊥AB于G,IG为三角形ABC内切圆半径
∵AG=1/2(AB+AC-BC),BC=1/2(AB+AC),∴AG=1/2BC=BH
又∠DBC=∠DAG,∴⊿DBH≌⊿IAG,AI=BD
(2)连接CI,∠ACI=∠BCI,∠DIC=∠ACI+∠CAI
∠CAI=∠IAG=∠DBH=∠DBC=∠DCH
∴∠DCI=∠DIC,DI=DC=DB=AI,即I是AD中点
∴IO//=1/2AE.