如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形

1)

作BC⊥x轴，垂足为C,
因为△AOB为等边三角形
所以OA=OB=4，∠AOB=60
所以∠BOC=30°
在直角三角形OBC中，BC=OB/2=2，
OC=√(OB²-BC²)=√（16-4）=2√3
所以B(2√3，2)
 
2)因为△APQ和△AOB是等边三角形
所以AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB
所以∠PAQ-∠OAQ=∠OAB-∠OAQ
即∠PAO=∠QAB
所以△PAO≌△QAB
所以∠AOP=∠ABQ,
因为∠AOP=90，
所以∠ABQ=90为定值
追问还有第三问呢?追答
若∠OQB=90°，因为∠ABQ=90
所以∠OQB=∠ABQ=90，
所以AB∥OQ
所以四边形AOQB是梯形
因为△AOB是等边三角形，∠ABQ=90
所以∠OBQ=30°
因为OB=OA=4，
所以OQ=OB/2=2，
过Q作QD⊥x轴，垂足为D,
∠POQ=∠BOQ-∠BOD=60-30=30°
所以DQ=OQ/2=1，OD=√3
过Q作QE⊥y轴
在直角三角形AQE中，由勾股定理，得，
AQ²=EQ²+²AE²
即AQ²=25+2=27
在直角三角形DPQ中，DP²=27-1=26
所以DP=√26
P(√3-√26,0)