在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）
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解决时间 2021-04-15 00:45
- 提问者网友：捧腹剧
- 2021-04-14 05:15
在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（）
最佳答案
- 五星知识达人网友：长青诗
- 2021-04-14 06:29
∵∠ACB=90° ，AB=8， ∠BAC=60°
∴BC=AB×sin60°=8×√3/2=4√3
AC=AB×cos60°=8×1/2=4
∵PC⊥面ABC， PC=4
∴在Rt△PCB中：PB²=PC²+BC²=4²+(4√3)²=64
PB=8
在Rt△PAC中：PA²=PC²+AC²=4²+4²
PA=4√2
在△PAB中，要是P到AB边PM最小值，那么PM⊥AB
在△PAB中，根据余弦定理：
cos∠PBA=(PB²+AB²-PA²/2PB×AB
=[8²+8²-(4√2)²]/2×8×8
=3/4
∴sin∠PBA=√(1-cos²∠PBA)=√(1-9/16)=√7/4
∴在Rt△PBM中，PM=PB×sin∠PBA=8×√7/4=2√7
∴BC=AB×sin60°=8×√3/2=4√3
AC=AB×cos60°=8×1/2=4
∵PC⊥面ABC， PC=4
∴在Rt△PCB中：PB²=PC²+BC²=4²+(4√3)²=64
PB=8
在Rt△PAC中：PA²=PC²+AC²=4²+4²
PA=4√2
在△PAB中，要是P到AB边PM最小值，那么PM⊥AB
在△PAB中，根据余弦定理：
cos∠PBA=(PB²+AB²-PA²/2PB×AB
=[8²+8²-(4√2)²]/2×8×8
=3/4
∴sin∠PBA=√(1-cos²∠PBA)=√(1-9/16)=√7/4
∴在Rt△PBM中，PM=PB×sin∠PBA=8×√7/4=2√7
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- 1楼网友：持酒劝斜阳
- 2021-04-14 08:07
三角形pcm是直角三角形
pm^2=pc^2+cm^2
=16+cm^2
所以，当cm最短时，pm为最小值
当cm为三角形abc的高时最短
所以cm=ac*sin60=4*sin60=2√3
所以pm的最小值=√（16+12）=2√7
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