已知 a,b,c,d为自然数 gcd(a,b)=1 c|a d|b, 求证 gcd(c,d)=1
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解决时间 2021-02-09 14:58
- 提问者网友：黑米和小志
- 2021-02-09 10:32
已知 a,b,c,d为自然数 gcd(a,b)=1 c|a d|b, 求证 gcd(c,d)=1
最佳答案
- 五星知识达人网友：狂恋
- 2021-02-09 11:56
假设 gcd(c,d)≠1，有gcd(c,d)=k (k≠1，k∈N）
令 c=km,d=kn , m∈N,n∈N,
∵c|a,d|b
∴存在自然数p,q，令a=cp=pkm, d=dq=qkn成立.
∴gcd(a,b)=gcd(pkm,qkn)=k≠1，与gcd(a,b）＝1矛盾。
所以，假设不成立。即， gcd(c,d)=1.
令 c=km,d=kn , m∈N,n∈N,
∵c|a,d|b
∴存在自然数p,q，令a=cp=pkm, d=dq=qkn成立.
∴gcd(a,b)=gcd(pkm,qkn)=k≠1，与gcd(a,b）＝1矛盾。
所以，假设不成立。即， gcd(c,d)=1.
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- 1楼网友：愁杀梦里人
- 2021-02-09 12:48
可以尝试写在纸上，拍张照片上传啊，你这样写看不懂···
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