用留数定理求z反变换时，当n≦2时,为什么z^(n+1)/[(4-z)(z-1/4)]是n+1阶极

用留数定理求z反变换时，当n≦2时,为什么z^(n+1)/[(4-z)(z-1/4)]是n+1阶极点

收敛域是1/4≦|z|≦4

证明：设z=cosθ+isinθ=e^(iθ)，则∑z^k=∑e^(ikθ)=[1-e^(inθ+iθ)]/[1-e^(iθ)]=(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)+i(1+sinθ+sin2θ+sin3θ+···+sinnθ)(k=0,1,2,……,n)。而[1-e^(inθ+iθ)]/(1-e^(iθ))=[1-e^(inθ+iθ)][1-e^(-iθ)]/{[1-e^(iθ)][1-e^(-iθ)]}=[1-e^(-iθ)-e^(inθ+iθ)+e^(inθ)]/(2-2cosθ)，比较实部、虚部，可得(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)=[1-cosθ-cos(n+1)θ+cosnθ]/(2-2cosθ)=1/2+[sin(n+1/2)θ/2]/sin(θ/2)。供参考。

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