在直三棱柱中证明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D E F分别在AA1 BB1 CC1 上，AD=H1 ,BE=H2 ,CF=H3证明V(ABC-DEF)=1/3S三角形ABC乘以（H1+H2+H3)

 

（这个图真费事啊。。。）    以CA为X轴，CB为Y轴，CC1为Z轴，建空间直角坐标系则设F坐标为（0，a，x），且A坐标为（a，0，0），B1坐标为（0，a，a），C点坐标为（0，0，a）D点坐标为（a/2,a/2,a），那么向量AB1坐标为（-a,a,a），向量C1D坐标为（a/2,a/2,0），C1F坐标为（0，a，x-a）∵AB1⊥面C1DF，也就有ABI⊥C1DF中两相交直线，∴AB1⊥C1D，AB1⊥1C1F，也就是（补充一条性质：空间中垂直时坐标积为0）-axa/2+axa/2+0=0（很明显成立）和axa+a(x-a)=0∴x=0也就是F与B重合时达到