已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2
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解决时间 2021-11-26 16:51
- 提问者网友：佞臣
- 2021-11-26 09:40
已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2
最佳答案
- 五星知识达人网友：毛毛
- 2021-11-26 10:42
：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称且把y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数．
∵f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2可得f（2）-f（-2）=2f（2），则f（2）=0．
从而可得f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2，
故选A．
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数．
∵f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2可得f（2）-f（-2）=2f（2），则f（2）=0．
从而可得f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2，
故选A．
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