求级数收敛域。

∑(x(1-x)²)ⁿ 这是幂级数吗？和a(x-x₁)ⁿ不一样？

1、严格来说，这两个都不是幂级数；
幂级数 power series，其实就是麦克劳林级数；
但是我们的教学，历来喜欢将麦克劳林级数跟泰勒级数混为一谈。
因此，我们人为地制造了很多似是而非的概念，尤其是对初学者，
他们学习中的很多障碍，是人为的，是人祸，是教师的懒惰学风
造成的。
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在数理化的各级各类教学中，由于教师的极度懒惰，极度刚愎自用，
造成了无数的人为灾难，没有一个学生能够幸免于难！以至于用英
文直接学习数理化，会事半而功百倍。
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2、∑an(x-x₁)ⁿ 是泰勒级数；
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∑an xⁿ 是麦克劳林级数，才是真正的幂级数；
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∑(x(1-x)²)ⁿ 是级数 series，但不是幂级数；但可以转换成幂级数。

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提问者附图已经详尽解答了问题。首先收敛半径为1，这是可以按公式求出的。即在（-1,1）内级数收敛；当|x|>1时发散。接下来要问区间的端点，即x=+1,-1是否收敛。这只要将x用对应的数字代人级数，分别得到一个常数项级数。x=1时对应得到交错级数，满足莱不尼茨条件，收敛；x=-1对应p=1的p级数，（调和级数），发散。所以收敛域要加上x=1，即在(-1,1]收敛。