中线长定理的证明

中线长定理的证明

中线长定理：三角形一条中线的两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍
已知：AD是三角形ABC的中线
求证：AB^2+AC^2=2（1/2BD)^2+2AD^2
证明：过点A作AH垂直BC于H
所以角AHB=角AHC=90度
所以三角形AHB和三角形AHC,，三角形AHD是直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AH^2+BH^2
AC^2=AH^2+CH^2
AH^2+DH^2=AD^2
所以AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BH^2+CH^2
因为AD是三角形ABC的中线
所以AD=CD=1/2BC
因为BH=BD+DH
CH=CD-DH
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+(BD+DH)^2+(BD-DH)^2
AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BD^2+DH^2+2BD^DH+BD^2-2BD^DH+DH^2
所以AB^2+BC^2=2AD^2+2BD^2
所以AB^2+AC^2=2*(1/2BC)^2+2AD^2
所以三角形一条中线所对的两侧的对边的平方和等于...中线长定理：三角形一条中线的两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍
已知：AD是三角形ABC的中线
求证：AB^2+AC^2=2（1/2BD)^2+2AD^2
证明：过点A作AH垂直BC于H
所以角AHB=角AHC=90度
所以三角形AHB和三角形AHC,，三角形AHD是直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AH^2+BH^2
AC^2=AH^2+CH^2
AH^2+DH^2=AD^2
所以AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BH^2+CH^2
因为AD是三角形ABC的中线
所以AD=CD=1/2BC
因为BH=BD+DH
CH=CD-DH
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+(BD+DH)^2+(BD-DH)^2
AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BD^2+DH^2+2BD^DH+BD^2-2BD^DH+DH^2
所以AB^2+BC^2=2AD^2+2BD^2
所以AB^2+AC^2=2*(1/2BC)^2+2AD^2
所以三角形一条中线所对的两侧的对边的平方和等于底边的一半的平方于该边中线的平方和的2倍

结论最后应该是“加上3个de的平方”。 设bc中点为m,在△ade,△mde中应用余弦定理，得 ad^2=ae^2+de^2-2*ae*de*cos∠aed, md^2=me^2+de^2-2*me*de*cos∠med, 因为ae=2me,cos∠aed=-cos∠med,所以 ad^2+2md^2=ae^2+2me^2+3de^2.............(*) dm,em分别是△dbc,△ebc的中线， 2dm^2=db^2+dc^2-bc^2/2, 2em^2=eb^2+ec^2-bc^2/2, 代入(*)式，即得 da^2+db^2+dc^2=ea^2+eb^2+ec^2+3de^2. 用解析几何的方法也不难证明。还可以用物理中转动惯量的有关定理证明。 ae=2me,重心把中线分成2:1的两段。 cos∠aed=-cos∠med，因为∠aed+∠med=180°。 “dm,em分别是△dbc,△ebc的中线， 2dm^2=db^2+dc^2-bc^2/2, ” 这个一般叫中线长公式，该学过吧。