已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4根号5除以3和2根号5除以3，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆

不妨设椭圆对称轴为x轴。y轴类似。
设焦点为F1，F2，显然P到F1的距离为(4√5)/3，PF2=(2√5)/3。
因为对称轴为坐标轴，则焦点在坐标轴上。过P做所在轴垂线的垂足为焦点，所以PF2垂直于x轴。2a=PF1+PF2=(6√5)/3=2√5
a=√5,
设x²/5+y²/b²=1
x=c时，也就是右焦点。c²/5+y²/b²=1
也就是(5-b²)/5+y²/b²=1
y²=b²[b²/5]
y=(2√5)/3时
求得b²=10/3
所以椭圆方程为：
x²/5+y²/(10/3)=1

如果焦点在y轴：
x²/(10/3)+y²/5=1

希望楼主采纳