在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+3 2 +1=0 相切． （I）求圆C的

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+3 2 +1=0 相切． （I）求圆C的方程；（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

（1）设圆的方程是（x-1） 2 +（y+2） 2 =R 2 ，依题意得，所求圆的半径 R=|
1-2+3


2 +1



2 |=3 ，
∴所求的圆方程是（x-1） 2 +（y+2） 2 =9．
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m，
设直线l与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），依题意有OA⊥OB，
即k OA ?k OB =-1，∴
y 1
x 1 ?
y 2
x 2 =-1 ，∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0．
因为






y=x+m
(x-1 ) 2 +(y+2 ) 2 =9 即






y=x+m
x 2 + y 2 -2x+4y-4=0 ，消去y得：2x 2 +2（m+1）x+m 2 +4m-4=0，
所以， x 1 + x 2 =-(m+1)， x 1 x 2 =
m 2 +4m-4
2 ．
∵

x 1 x 2 + y 1 y 2 =0  ， y 1 = x 1 +m ， y 2 = x 2 +m ，
∴

x 1 x 2 +( x 1 +m)( x 2 +m)=0， 即2 x 1 x 2 +m( x 1 + x 2 )+ m 2 =0 ，
∴



m 2 +3m-4=0 ，解得m 1 =-4，m 2 =1，
经检验m 1 =-4，m 2 =1都满足△＞0，都符合题意，∴存在满足题意的直线l：l 1 ：y=x-4，l 2 ：y=x+1．

额