求助复变函数导数题目

求助复变函数导数题目

根据定义，f(z)在0点如果有极限，当且仅当
△f(z)/△z 在△z以任意方式趋于0时收敛于一个有限的数。因为一般情况下的二重极限很难求，所以我们希望这个极限不存在，所以就要举出反例。举反例就要证明，当△z以两种不同的方式收敛时，上述比值收敛到不同的值。下面就开始尝试了。

为方便起见，设△z=x+iy，那么

首先尝试直线路径，即y=kx，其中k是变量。只要证明当k取不同的实数时，上式有不同的极限，就大功告成了。事实上，对于y=kx的收敛方式，可以看出分母是二阶无穷小量，分子是三阶无穷小量，因此比值总是收敛于0，因此直线路径的尝试失败。
接着尝试抛物线。
为了把分母的二次项去掉，令x=ky²，同样的道理，只要证明当k为不同的数时，上式收敛于不同的值即可。
这时候分母为i(k²+1)y^4，分子为ky²(k²y^4+y²)，其中k²y^4在极限过程中被“吃掉”，因此分子相当于ky²y²=ky^4
所以整个分式的极限为
lim ky^4/i(k²+1)y^4=k/i(k²+1)，因此极限值与k有关，从而二重极限不存在，即导数不存在。