y=|x|到底是不是初等函数

首先，y=|x|可以写成两个基本初等函数的复合函数：y=根号u，u=x平方。根据初等函数的定义，若干个基本初等函数的有限次四则运算或复合，都是初等函数，得到y=|x|是初等函数；
其次，y=|x|是一个分段函数，在x=0处连续，但不可导。根据初等函数的性质，所有初等函数在其定义域内都连续，都可导，可以断定y=|x|不是初等函数。
以上两点互相矛盾，但又找不出错误原因，请大家帮忙解答。

”所有初等函数在其定义域内都连续，都可导“，这句话本身就是错的。
y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函数,但在x=0处不可导!
所以说|x|是初等函数，与它在x=0不可导，并没有矛盾。

初等函数是由幂函数，指数函数，对数函数，初等函数，三角函数，反三角函数，与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。 y=|x|可以写成y=（x^2）^(1/2)。完全满足上述条件。

初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic   

初等函数

function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

由初等函数的定义可知y=2-x是初等函数

是初等函数的 “初等函数的性质，所有初等函数在其定义域内都连续”这句话是错误的，在《数学分析》华东师范大学第二版 107页中 有 “定理4.14 ：一切基本初等函数都是在定义域上的连续函数。” “定理4.15 任何初等函数的都是在它有定义的区间上的连续函数”，注意是基本初等函数才是在定义域上的连续函数，初等函数仅限于定义区间，