已知，△ABC中，AC=9，BC=6，问边AC上是否存在一点D，是△ABC相似于△BDC，请算出CD的长度。

已知，△ABC中，AC=9，BC=6，问边AC上是否存在一点D，是△ABC相似于△BDC，请算出CD的长度。

用点的顺时针排列表示角

在三角形 ABC中 按正玄定理 有 AC/SIN角CBA=BC/SIN角BAC 即 9/SIN角CBA=6/SIN角BAC........(1)

在三角形 BDC中 按正玄定理 有 CD/SIN角CBD=BC/SIN角BDC 即 CD/SIN角CBD=6/SIN角BDC......(2)

设 角CBD=角BAC 则因三角形内角和=180° 角C是公共角, 所以角BDC=角CBA 代入(2)有:

CD/SIN角BAC=6/SIN角CBA 就是6/SIN角CBA=CD/SIN角BAC......(3)

(3)式除(1)式得: 6/9=DC/6 解出 DC=36/9=4

因为CD=4<9 所以D点在AC之上,所以存在点D使得△ABC相似于△BDC,且CD=4

CD/BC=BC/AC

CD/6=6/9

CD=4

解:假设三角形ABC相似于三角形BDC 则角ACB=角BCD，角ABC=角BDC 所以三角形ABC是等腰三角形，所以AB=AC=9 又因为AB/BC=BC/CD，AB=9,BC=6。 所以 CD=4