PT△ABC中,∠ABC=90°,D为AB中点,E在AC上,F在BC上，且AE²+BF²=CE²+CF²，试说明DE⊥DF

初中几何数学题，大家帮帮忙了，要快

证明：过A点作AH⊥AC交FD延长线于H，连结EH，
∵ AH//BF，AD=BD，
∴ △ADH≌△BDF，
∴ AH=BF，DH=DF，
∴ HE^2=AH^2+AE^2
=AE^2+BF^2
=CE^2+CF^2
=EF^2,
∴ EF=EH, 即EFH为等腰三角形
∴ DE⊥HF .(等腰三角形三线合一)
即 DE⊥DF

延长FD到G，使得FD=DG，连接EG 又D为AB中点，即AD=BD，角ADG=角BDF 所以△ADG≌△BDF 所以角DAG=角B，AG=BF 因为∠ABC=90°，即∠CAB+∠B=90° 所以∠DAG+∠CAB=90°，即∠CAG=90° 所以AE²+AG²=EG² 所以AE²+BF²=EG² 又因为∠ABC=90° 所以CE²+CF²=EF² 又AE²+BF²=CE²+CF² 所以EG=EF 又FD=DG 所以在三角形EFG中ED垂直平分FG 即DE⊥DF

证明：在fd的延长线上取点g，使fd＝gd，连接ag、eg ∵∠acb＝90 ∴∠cab+∠b＝90,ce²+cf²＝ef² ∵d为ab的中点 ∴ad＝bd ∵fd＝gd，∠adg＝∠bdf ∴△adg≌△bdf （sas） ∴ag＝bf，∠gad＝∠b ∴∠cag＝∠cab+∠gad＝∠cab+∠b＝90 ∴ae²+ag²＝eg² ∴ae²+bf²＝eg² ∵ae²+bf²＝ce²+cf² ∴ef²＝eg² ∴ef＝eg 又∵fd＝fg ∴de⊥df （三线合一）