(a＋ b ＋c)∧2=3(ab＋ bc ＋ac)则a=b=c反证

(a＋ b ＋c)∧2=3(ab＋ bc ＋ac)则a=b=c反证

(a＋ b ＋c)∧2=3(ab＋ bc ＋ac)
左边完全平方展开得:
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
等式两边乘以2得:
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
配方得:
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
由实数关系得:
(a-b)^2=0 , (b-c)^2=0 , (a-c)^2=0
a=b , b=c , a=c
所以有,a=b=c

a=b=c
(a-b)^2=0

a^2+b^2-2ab=0........(1)
(a-c)^2=0
a^2+c^2-2ac=0.........(2)
(b-c)^2=0
b^2+c^2-2bc=0..........(3)
(1)+(2)+(3)
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)//////

(a＋b＋c)∧2
=a∧2＋b ∧2＋c∧2+2（ab+bc+ca）
=3（ab+bc+ca）
2a∧2＋2b ∧2＋2c∧2-2（ab+bc+ca）=0
（a-b）∧2＋（b-c）∧2＋（c-a）∧2=0
只有，a=b=c

（a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2
=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=3ab+3bc+3ac
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
(a-b)^2>=0,(a-c)^2>=0,(b-c)>=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
当这个代数式=0时的条件
即三者都等于0
(a-b)^2=0.(a-c)^2=0，(b-c)^2=0
a-b=0,a-c=0,b-c=0
a=b,a=c,b=c
三者两两相等，则三者都相等
a=b=c.